高校数学の二次関数で平方完成を2行でやる考え方。これで二次関数の問題も時短

2021.11.29

高校数学で最初に苦労する人が多いのは
二次関数。

そして頂点の座標を求めるため
二次間数では避けては通れないのが
平方完成。

平方完成も慣れてできるようになれば
なんて言うことなくなるでしょう。

でもオーソドックスに行くと
４，５行になるので
ちょっと手間ですよね。

残念なことに高校数学では
二次関数との融合問題もあり
大学受験まで避けて通ることはできません。

しかし、平方完成を２行で
やる方法があるのです。

そうすれば高校３年間を通して見れば
かなりの時間短縮になります。

今回は平方完成を２行でやる方法を
ご紹介します。

Contents

平方完成のオーソドックスな方法

まずは平方完成のオーソドックスな方法から。

①ｘ^２とｘをｘ^２の係数でくくる。
②ｘの係数の半分の２乗を足して引く。（ここは省略する人が多い）
③因数分解
④最初にくくったｘ^２の係数を掛ける
⑤定数項を計算

言葉で説明するとわかりにくいので
具体例で見ていきましょう。

例）
3ｘ^２+2ｘ+1
=3(ｘ^２+2/3ｘ)+1・・・・・・・・①
=3{(ｘ^２+2/3ｘ+1/9)-1/9}+1・・・②
=3{(ｘ+1/3)^２-1/9}+1・・・・・・③
=3(ｘ+1/3)^２–1/3+1・・・・・・・④
=3(ｘ+1/3)^２+2/3・・・・・・・・⑤

②は省略する人が多いのですが
それでも４行書かなければいけません。

では平方完成を２行でやる
考え方を見ていきましょう。

今度は先程と同じ式での具体例から
見てみます。

3ｘ^２+2ｘ+1
=3(ｘ+1/3)^２ー1/3+1・・・・・①
=3(ｘ+1/3)^２＋2/3・・・・・・②

簡単に言うと
先程のオーソドックスな方法の
①〜③を頭の中でやってます。

①に行く過程で
次の２つの考えを使っています。

・前の２つをｘ^２の係数の３でくくった半分の1/3を因数分解の中の定数にする。
・その1/3の２乗の1/9に、くくった３を掛けた1/3を引く。

あと２、３例、加えます。

3ｘ^２+６ｘ+２
=3(ｘ+1)^２ー３+２・・・・・①
=3(ｘ+1/3)^２ー１・・・・・・②

2ｘ^２+3ｘ+1
=2(ｘ+3/4)^２ー9/8+1・・・・・①
=3(ｘ+1/3)^２+1/8・・・・・・②

オーソドックスな方法に慣れていると
最初は馴染めないでしょう。

しかしこの考え方を使えるようになれば
平方完成で書く量が減り、
結構な時間短縮になります。

共通テストをはじめ
現在の大学受験は問題量が多いので
スピードも大切です。

このようなちょっとしたテクニックで
時間短縮していきましょう。

P.S.
次の記事でも計算テクニックのお話です。

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