高校数学の三角関数の公式を語呂合わせで覚えよう②〜和・差→積の公式
前回の記事
高校数学の三角関数の公式を語呂合わせで覚えよう①〜加法定理から３倍角の公式までの続きです。
今回は和・差→積の公式と
積→和・差の公式について
解説していきます。
この公式は覚えなくてもいいという
声もあります。
ですが積→和の公式も
数Ⅲの積分で使いますので
覚えておいたほうがいいでしょう。
いい語呂合わせがありますので
ご紹介します。
和・差→積の公式
sin（α＋β）＋sin（αーβ）＝２sinαcosβ
（咲いた咲いた咲いたはコスモス）
sin（α＋β）ーsin（αーβ）＝２cosαsinβ
（咲かない咲かないコスモス咲かない）
cos（α＋β）＋cos（αーβ）＝２cosαcosβ
（越す越す、また越す越す）
cos（α＋β）ーcos（αーβ）＝ー２sinαsinβ
（越さない越さない先々までも）
語呂合わせは、私が高校生の時に
学校の先生に教わったものです。
聞いた時はくだらないと思ったのですが
インパクトがあって一生忘れられない
公式になりました。
４つ目の「越さない越さない」の時は
右辺にマイナスが付きますので
注意が必要です。
α＋β＝A、αーβ＝Bとおいて
次のような形で表されることもあります。
sinA＋sinB＝２sin A+B cos A-B
２ ２
sinAーsinB＝２cos A+B sin A-B
２ ２
cosA＋cosB＝２cos A+B cos A-B
２ ２
cosAーcosB＝ー２sin A+B sin A-B
２ ２
和・差の公式は
加法定理を足し算or引き算すれば
導き出せます。
例えば
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（αーβ）＝sinαcosβーcosαsinβ
この２式を足せば
sin（α＋β）＋sin（αーβ）＝２sinαcosβ
になります。
時間があれば、残り３つも
自分で確かめてください。
積→和・差の公式
sinαcosβ＝1/2{sin（α＋β）＋sin（αーβ）}
cosαsinβ=1/2{sin（α＋β）ーsin（αーβ）}
cosαcosβ=1/2{cos（α＋β）＋cos（αーβ）}
sinαsinβ=ー1/2{cos（α＋β）ーcos（αーβ）}
これは先程の和・差の公式の
右辺と左辺を入れ替えて
２で割っただけです。
和・差の公式を覚えていれば
簡単に出せるので
特に覚える必要はないでしょう。
冒頭に書きましたが
数Ⅲの積分で使いますので
理系の人は導けるようにしておいた方が
良いです。
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