数列のΣ計算は場合によっては簡単にできることもある。それはどんな場合？

「Σ計算って分数の計算でちょっと面倒」
「文字式の分数だから通分する時に間違えそう」

気持ちよくわかります。

文字式の分数の計算って
面倒くさいですよね。

おまけに通分する時に
うっかり間違えそうですし。

でも場合によっては
計算を楽にできることがあるのです。

今回も前回の記事
平方完成を2行でやる考え方。これができれば二次関数の融合問題も時間短縮
に引き続き、
ちょっとした計算テクニックについてのお話です。

▼一般項が一次式の時、Σ計算は楽できる。

一般項が一次式の時、
Σ計算は少し簡単にできます。

具体例で説明しますね。

n
Σ（３ｎ＋２）
^k=1

 

赤の部分のように
ｎの一次式ならΣ計算は要らないのです。

なぜかというと
一般項がｎの一次式ということは
等差数列の一般項を
表しているからです。

例えば初項３、公差４の等差数列だったら
ａ_ｎ
＝３＋（ｎ−１）・４
＝３＋４ｎ−４
＝４ｎ−１

確かにｎの一次式になってますね。

等差数列の一般項は
初項をａ、公差をｄ、項数をｎとすると
ａ_ｎ
＝ａ＋（ｎ−１）・d
＝ｄｎ＋ａーｄ

ａーｄの部分は定数なので
必ずｎの一次式になるのです。

ですのでこのΣ計算も
等差数列の和の公式で代用できます。

どれくらい楽なのか比較するために
まずは普通の計算をやってみましょう。

①一般的なΣ計算の場合

n
Σ（３ｎ＋２）
^k=1

＝３・ｎ（ｎ＋１）／２＋２ｎ
＝ｎ／２｛３（ｎ＋１）＋４｝
＝ｎ／２（３ｎ＋３＋４）
＝ｎ（３ｎ＋７）／２

②等差数列の和の公式でΣ計算の場合

等差数列の和の公式の覚え方

等差数列の和の公式を利用して
一般項が一次式のΣ計算をする前に
和の公式を振り返ってみましょう。

項数ｎの等差数列の和の公式は
初項をａ、交差をｄ、末項をａ_ｎとすると

Sｎ
＝n｛ａ＋ａ_ｎ｝／２
＝ｎ｛２ａ＋（ｎ−１）ｄ｝／２

覚えにくい場合は
二分の項数掛ける（初項＋末項）で
覚えましょう

等差数列の和の公式でΣ計算を簡単に

では実際に先程のΣ計算を
等差数列の和の公式でやってみます。

n
Σ（３ｎ＋２）
^k=1

この式ですが、
ａｎ＝３ｎ＋２より、
初項は５です。

したがって

与式
＝ｎ｛５＋（３ｎ＋２）｝／２
＝ｎ（３ｎ＋７）／２

先ほどと比べると
書く量は半分になりましたし、
通分も楽になりました。

ちょっとした計算ですが
このΣ計算に関しては
時間は半分以下になると思います。

こういうちょっとした
計算テクニックを積み重ねれば
全体的に見ると結構な時間短縮になります。

ぜひ今回のΣ計算も利用しましょう。

Ｐ．Ｓ．
次の記事も計算のコツに関する話です。
↓↓↓
計算を楽にする覚えておくべき累乗数＆平方数。平方数は語呂合わせで

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