【数学1】図形と計量（三角比）⑤三角方程式、三角不等式の解き方

2022.5.12

【数学1】図形と計量（三角比）④／180°ーθ、90°ーθ、90°＋θの三角比　からの続き

Contents

三角方程式
- 三角方程式①
- 三角方程式②
三角不等式
まとめ

三角方程式

sinθ、cosθ、tanθのθという未知の角度の三角比を含む方程式のことを三角方程式と言います。

このとき未知の角度θが何度かを求めることを「三角方程式を解く」といいます。

実際に問題を見てみて説明していきます。

三角方程式①

以下の三角方程式の問題を解いてみましょう。

＜問題①＞
0°≦θ≦180°のとき、次の三角方程式を解け。

$$\sqrt{2}cosθ+1=0$$

$$cosθ=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

この条件を満たすcosθは、下図の単位円周上の点Ｐの$x$座標になります。

符号がマイナスなので、θは鈍角であることも分かります。

点$A(1,0)$ を取ると、$\angle AOP =θ$なので、$\angle AOP =θ=135^{ \circ }$になります。

よって答えは$135^{ \circ }$になります。

ここでも単位円上の座標の位置を確かめることが大事になってきます。

三角方程式②

sin²θのような三角比を2乗したものが公式に混ざっていても、単位円上の座標の位置からθを求めるのは同じです。

こちらも実際にやってみましょう。

＜問題②＞

　0°≦θ≦180°のとき、三角方程式

$$\sqrt{2}\cos^2 \theta+(3\sqrt{2}+1)\sin \theta-3-\sqrt{2}=0$$

を解け。

まずは$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$の公式を使って、$\sin \theta$のみの式にしてみましょう。

$$\sqrt{2}(1-\sin^2 \theta)+(3\sqrt{2}+1)\sin \theta-3-\sqrt{2}=0$$ $$\sqrt{2}-\sqrt{2}\sin^2 \theta+(3\sqrt{2}+1)\sin \theta-3-\sqrt{2}=0$$ $$\sqrt{2}\sin^2 \theta-(3\sqrt{2}+1)\sin \theta+3=0$$

ここで$\sin \theta=t$とすると、$ 0^{ \circ }\leqq \theta \leqq 180^{ \circ } $より$\sin \theta$は下の単位円周上の$y$座標なので、$ 0 \leqq t \leqq 1 $になります。

したがって$$\sqrt{2}t^2-(3\sqrt{2}+1)t+3=0 $$ $$(t-3)(\sqrt{2}t-1)=0 $$ $$t=3,\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ $$0 \leqq t \leqq 1より、t= \sin \theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ $$よって\theta =45^{ \circ },135^{ \circ }$$

下の図のように、図で描いてみると符号や該当する角度がわかりやすいでしょう。