【数学1】図形と計量（三角比）⑥正弦定理とは？その導き方と使い方

2022.5.18

【数学1】図形と計量（三角比）⑤三角方程式、三角不等式の解き方　からの続き

ここでは正弦定理についてお伝えします。

正弦定理の「正弦」とは、三角比のsinのことです。

他の三角比であるcosは「余弦」、tan は「正接」です。

今回は「正弦」＝sin を使って「外接円と三角形」の関係についての関係式「正弦定理」についてご紹介します。

Contents

正弦定理とその導き方
正弦定理の使い方

正弦定理とその導き方

以下のような三角形ABCがあるとします。

頂点Aの内角$\angle BAC$をA、頂点Bの内角$\angle CBA$をB、頂点Cの内角$\angle ACB$をCとして、その対辺をそれぞれa、b、cとします。

三角比の問題ではこのような表記のされ方が多いので、慣れておきましょう。

次に各頂点を通る円を描きます。

このような三角形の3つの頂点を通る円のことを「外接円」、その中心を「外心」と言います。

この時、外接円の半径をRとすると直径は2Rとなります。

Aが鋭角のとき、下図のように三角形ABCとその各頂点を通る外接円があるとします。

このときAは弧BCの円周角と言えます。

円周角の定理により、同じ弧BCに対する円周角は等しいため、外接円上に線分A’Bが直径と重なるように新たに頂点A’をとると、$\angle A=\angle A’$となります。

以下、Aと同様、頂点A’の内角もA’と表します。

また直径に対する円周角は直角なので、$\angle A’CB=90^{ \circ }$となります。

そのため三角形A’CBは直角三角形になります。

直角三角形A’CBにおいて、sinA’について考えるとき、斜辺は直径の2R、高さはaとなります。

そのためsinA’は、以下の式になります。
$\sin A’=\dfrac{a}{2R}$

さらにA’は弧BCの円周角なのでAと等しいため、以下の式になります。
$\sin A=\dfrac{a}{2R}$

これは、B、Cでも同じことが言えるので
$\sin B=\dfrac{b}{2R}$
$\sin C=\dfrac{c}{2R}$

以上より、以下の公式を導くことができます。
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$

これを正弦定理と言います。

正弦定理を使う際には、辺の長さとの部分を使う場合と、半径Rとの部分を使う2パターンがあります。

正弦定理の問題を解く際には、何が問われているのかを明確にして、正弦定理の公式のどの部分を使ったら良いのかを考えましょう。

正弦定理の使い方

それでは正弦定理の具体的な使い方をご紹介します。

三角形の1辺の長さと2つの角度が分かっているときに残りの辺の長さを求める問題は、下の図の正弦定理のうち赤い部分の式で必要な部分を使います。

もう1つは外接円の半径を求める問題です。

外接円の半径を求めるときには、下の図の正弦定理のうち青い部分の式で必要な部分を使います。

また上の図の正弦定理を
$a=2R\sin A$、$b=2R\sin B$、$c=2R\sin C$
という形に変形して使いやすくしたり
$a:b:c=\sin a:\sin b:\sin c$のように比の形にして使いやすくするという方法もあります。