【数学A】場合の数と確率⑨事象と確率、余事象、積事象と和事象の確率
【数学A】場合の数と確率⑧同じものを含む順列と重複組合せによる並べ方 からの続き
ここでは確率の基礎と「余事象」「和事象」などについて説明していきます。
確率とは実験や観測の結果で、実験や観測のことを試行といいます。
また試行の結果起こる事柄を事象といいます。
例えばある事が起こる確率が
２回に１回起こると考えるよりも
２万回の試行をしたら
あることが１万回くらい起こることだとみなします。
確率の定義
では例題を見ながら確率の基本用語を見ていきましょう。
【例題１】１個のサイコロを投げる試行で、偶数の目が出る確率を求めよ。
(解答)１つの試行で起こり得る結果全体を集合Uで表すとき、U自身で表される事象を全事象という。
ここでは
U＝{１，２，３，４，５，６}
偶数が出るという事象をAとすると
A＝{２，４，６}
また、Uのただ１つの要素からなる集合で表される事象を根元事象という。
ここでは根元事象は
{１}，{２}，{３}，{４}，{５}，{６}
試行において、どの根元事象が起こる事が同程度に期待できるとき、同様に確からしいといい、この問題の場合もサイコロの目の出方は同様に確からしいと言える。
このとき事象Aが起こる確率を
P（A）と表し、次の式が成り立つ。
この問題を上の式に当てはめると
ｎ（Ｕ）＝６、ｎ（Ａ）＝３なので
余事象の確率
全事象をUとした時、事象Aに対して「Aが起こらない」事象をAの余事象といい、Āで表す。
余事象Āの確率について、次式が成り立つ。
【例題２】
１０本の内３本の当たりが入っているクジがある。
この中から同時に２本引くとき、少なくとも１本が当たりの確率を求めよ。
(解答)
この問題では、「少なくとも１本あたり」は「２本ともハズレ」の余事象になる。
１０本の中から２本引く場合の数は
１０C２＝４５ 通り
「２本ともハズレ」の場合の数は
７C２＝２１ 通り
よって求める確率は
和事象の確率
一般的に事象Ａ、Ｂにおいて
・積事象
AとBがともに起こる事象で
Ａ∩Ｂで表す。
・和事象
AまたはBが起こる事象で
Ａ∪Ｂで表します。
・排反事象
AとBが同時に起こらない時、事象AとBは互いに排反であるという。
【例題３】
2０本のクジの中に当たりが５本ある。
このクジをA、B、２人がこの順に１本ずつ引くとき、A、Bそれぞれが当たる確率を求めよ。
(解答)
Aが当たる確率は
次にA，Bの順にクジを引く場合の数は２０P２＝３８０通り
このうちBが当たる場合の数は
①Aが当たりBも当たる場合
５×４＝２０通り
②Aが外れBが当たる場合
１５×５＝７５通り
①と②は同時に起こらない、すなわち互いに排反なので、確率の加法定理より、Bが当たる確率は
【例題4】
カードが７枚あって、４枚は赤色で、１，２，３，４の数字が書いてある。残りの３枚は白色で、０，１，２の数字が書いてある。これらを横に並べる時、次の確率を求めよ。
（１）赤、白２色が交互に並ぶ確率
（２）同じ数字はすべて隣り合う確率
（３）同じ数字が隣り合わない確率
(解答)
７枚を１列に並べる場合の数は７！通り
（１）赤、白２色が交互に並ぶ場合の数は４！×３！通りなので、求める確率は
（２）赤の１と白の１、赤の２と白の２をそれぞれ１組と考え、その組の中で動かすので、並べ方は
５！×２！×２！通り
よって求める確率は
（３）全事象をU、赤の１と白の１が隣り合う事象をA、赤の２と白の２が隣り合う事象をBとすると
また
ｎ（Ａ）＝ｎ（Ｂ）＝６！×２！
さらに（２）より
ｎ（A∩B）＝５！×２！×２！
よって
したがって求める確率は
今回は集合の基礎「余事象」「和と積事象」について解説しました。
用語がたくさんありますので、今後のためにしっかりと覚えておきましょう。
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