【数学A】場合の数と確率④順列（０を含む数字の並べ方、色分けの数）
【数学A】場合の数と確率③順列とは？「！」、「P」の公式と活用問題からの続き
「順列」については、色々な条件が付く問題があります。
今回はその中から「数字の問題」と「色分けの問題」を取り上げます。
１、整数の個数（０を含む数字を並べる）
【例題１】０，１，２，３，４の５つの数から、重複しないで３個の数を並べて３桁の正の整数を作る。
このとき次のような整数は何個作れるか。
①３桁の正の整数すべて
②偶数になるもの
③３の倍数になるもの
①(解答)
数字の問題は前回も学習しましたが、今回の問題は、選択する数字に０が含まれています。
・１番上の百の位には０が使えないので
百の位は１，２，３，４の４通り。
・残り４個の数の中から2個選び、十の位と一の位に並べるので十の位と一の位の場合の数は
４P２＝４×３＝１２通り
したがって求める３桁の整数の個数は
４×１２＝４８
答え ４８個
①の（別解）
５つの数から、重複しないで
３個の数を並べる場合の数から
百の位が０になる場合の数を引きます。
５P３―４P２
＝５×４×３―４×３
＝６０―１２
＝４８
②(解答)
偶数は一の位が、０，２，４の場合。
百の位は０ではいけないので、場合分けする。
・一の位が０のとき
百の位と十の位は残りの４つの数 １，２，３，４のから２個選んで並べるので、
４P２＝４×３＝１２通り
・一の位が０でないとき
一の位は、２または４の２通り
百の位は０以外だから１，２，３，４の４通りから一の位で使った数を取ると３通り。
十の位は残りの２個の数に０を加えた３個の数から選ぶので３通り。
したがって２×３×３＝１８通り。
よって求める数は
１２＋１８＝３０
答え ３０個
③(解答)
各位の数の和が３の倍数になる時、その数は３の倍数になる。
０，１，２，３，４の中で３個の数の和が３の倍数になる組合せは、
{０，１，２} {０，２，４}
{１，２，３} {２，３，４}の４通り。
これを０を含むものと、０を含まないものとに場合分けする。
・{０，１，２} {０，２，４}のとき
{０，１，２} のとき
百の位は０ではないので
２×２！＝４ となり４通り。
{０，２，４}のとき同様にして
２×２！＝４ となり４通り。
・{１，２，３} {２，３，４}のとき
{１，２，３}のとき
３！＝３×２×１＝６ となり、６通り。
{２，３，４}のときも同様にして６通り。
求める数は、これらをたして、
４＋４＋６＋６＝２０
答え ２０通り
２、色分け
次は色分けの問題です。図をよく見て考えてください。
【例題２】
下の図でA，B，C，Dを赤、青、白、黒の４色で塗り分けるとき、次の塗り分け方は何通りあるか。
①４か所をすべて異なる色で塗る場合
②同じ色を使ってもよいが隣り合う部分は異なる色にする場合
(解答)
①４個を１列に並べる事と同じなので、その塗り分け方は
４！＝４×３×２×１＝２４
答え２４通り
②AとBとCは隣り合うので、同じ色にはならない。
A，BとDは隣り合わないので同じ色でも、違う色でも良い。
よって塗り分ける色の数は、４色の場合と３色の場合がある。
（４色の場合）
①と同じだから２４通り
（３色の場合）
AとDが同じ色とすると、A，B，Cの色は４色の中から３色選んで当てはめるので
４P３＝４×３×２＝２４通り
BとDが同じ色のときも
同様にして２４通り
この２つの起こり方は
重複しない（同時には起こらない）ので
２４＋２４＝４８通り
したがって求める数は、
４色の場合と３色の場合を合わせて
２４＋４８＝７２通り
答え ７２通り
３、まとめ
「数字の問題」では０がある場合と０がない場合では解き方が異なります。
「色分けの問題」では、図を見て場合分けをしましょう。
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