【数学A】場合の数と確率⑥組合せの記号「C」とその公式、計算方法
【数学A】場合の数と確率⑤円順列、数珠順列、正多面体の塗り分けの数 からの続き
ここでは「組合せC」の公式とその計算方法について触れていきます。
「順列」では取りだして並べた場合の数を求めていました。
一方「組合せ」では順番を無視した取り出し方の場合の数を求めます。
組合せの記号「C」と公式
異なるn個から、異なるr個を取る「組合せ」の総数を ｎCｒ (r≦n)と表 します。
異なるn個の中から異なるr個を取り出して並べる順列はｎPｒです。
順列では取り出したr個の並べる順番が違っていたら別のものとします。
この場合の数はr!通りあります。
「組合せ」では、取り出したr個は並べる順番は無視します。
よってr!通りの重複があると考えますので、組合せｎCｒはｎPｒを重複の場合の数r!で割ることで求められます。
少し分かりにくいので、具体例で見ていきましょう。
①②③④⑤⑥から3個取り出して並べるとすると、その並べ方は６P３=120通りあります。
下図のように①②③を選んで並べた時、その３つの並べ方は３！＝６通りです。
組合せでは順番を無視するので、これらは同じものとなります。
だからこの6通りは重複します。
①②③以外を選んだ時も、同じように重複するので、
が成り立ちます。
このようにして一般的に
が成り立つのです。
また
ｎPｒ＝n(n−1)(n−2)・・・(n−r+1)
ｒ！＝r(r-1)(r-2)・・・3×2×1
を代入すると
となります。
さらに
を代入して、分母分子に
（ｎーｒ）！を掛けると
となります。
組合せの計算
【例題１】
次の値を求めよ。
①７C２ ②７C５
（解答）
①と②の答えが等しくなっています。
一般的に次のことが成り立ちます。
では具体的な内容の文章問題を解いてみましょう。
【例題２】
10色の色鉛筆の中から4色選ぶ方法は何通りあるか。
(解答)
答え ２１０通り
次の問題は男女の混じった集団から、色々な条件を付けた組合せを求める問題です。
【例題３】
男子5人と女子4人の中から4人を選ぶとき、次のような選び方は、それぞれ何通りあるか。
①すべての選び方
②男子3人と女子1人を選ぶ選び方
③少なくとも1人は女子を選ぶ選び方
④特定の2人を選ぶ選び方
(解答)
①9人の中から4人を選ぶので
答え １２６通り
②男子5人の中から3人を選び、
かつ女子4人の中から1人を選ぶ。
この2つの場合の数を掛ければ求める数が得られる。
③少なくとも1人とは、女子が4人、3人、2人、1人いずれでも良い。
場合分けをして求める事もでるが、4人とも男子を選ぶ以外と考えると、全部の場合の数から4人とも男子の場合の数を引くと求める事ができる。
よって
126ー５C4
＝126ー５C1
＝126ー5
＝121
答え 121通り
④2人が選ばれるのは決定しているので、残り7人の中から2人を選ぶと考える。
答え ２１通り
今回は「組合せ」の基本的な記号といくつかの問題を説明しました。
「組合せ」の問題は色々なパターンがありますので、次回も引き続き見ていきましょう。
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