【数学A】場合の数と確率⑦組合せの図形への利用、順列と組合せの使い分け
【数学A】場合の数と確率⑥組合せの記号「C」とその公式、計算方法 からの続き
「組合せ」の問題には色々なパターンがあります。
今回は「組分け」、「図形への利用」、「順列と組合せの使い分け」の問題について解説します。
組分けの問題
【例題１】1２人を次のように分ける方法は何通りあるか。
①５人,４人,３人の３組に分ける。
②４人ずつA，B，Cの３組に分ける。
③４人ずつ３組に分ける。
④６人，３人，３人の３組に分ける。
(解答)①
・１２人から５人を選ぶ場合の数は
１２C５通り
・残りの7人から4人選ぶ場合の数は
７C４通り
残りの3人は自動的に決まるので、求める場合の数は
１２C５✕７C４
＝７９２✕３５
＝２７７２０
答え ２７７２０通り
②
・Aに入る４人を選ぶ場合の数は
１２C４通り
・Bに入る4人を残り8人から選ぶ場合の数は
８C４通り
１２C４✕８C４
＝４９５✕７０
＝３４６５０
答え ３４６５０通り
③A、B、Cの区別をなくすと同じ選び方が下図のように３！通りできる。
つまり②の３４６５０通りの中で３！＝６通りずつ重複ができるので、求める場合の数は34650÷6＝5775
答え 5775通り
④Aに6人、B に3人、C に3人を選ぶ場合の数は
１２C６✕６C3
＝９２４✕２０
＝１８４８０
BとCの区別をなくすと同じ分け方が２通り（２！通り）ずつ重複するので、求める数は
１８４８０÷２＝９２４０
答え ９２４０通り
組合せを図形に利用
次に組合せを使う図形の問題を見てみましょう。
【例題２】
下図のように、縦４ｃｍ横４ｃｍの正方形がある。
この正方形を縦横とも１ｃｍ幅に分けて、図のように縦１ｃｍ、横１ｃｍの正方形にする。
①長方形は(正方形を含む)は全部で何個できるか。
②正方形は全部で何個できるか。
(解答)
①長方形は縦と横2本ずつの直線の組合せで作ることができる。
縦、横どちらも５C2通りあるので、求める長方形の数は
答え 100個
② 正方形は１辺の長さで場合分けする。
（ⅰ）１辺１ｃｍの正方形は隣り合う縦横とも２本の直線の組合せでできる。
５本の直線から隣り合う２本の直線の組合せは縦横４通りずつあるので、求める正方形の数は
４×４＝１６通り
（ⅱ）１辺２ｃｍの正方形は縦横とも２ｃｍ離れた２本の直線の組合せでできる。
組合せは縦横とも３組ずつあるので３×３＝９通り
（ⅲ）１辺３ｃｍの正方形は縦横とも３ｃｍ離れた２本の直線の組合せでできる。
組合せは縦横とも２組ずつなので
２×２＝４通り
（ⅳ）１辺４ｃｍの正方形は上の図の全体の正方形だから１組。
（ⅰ）〜（ⅳ）より求める正方形の個数は１６＋９＋４＋１＝３０
答え ３０個
順列と組合せの使い分け
【例題３】
①１０人の生徒から３人を選ぶ選び方は何通りあるか。
②１０人の生徒から３人を選び、委員長と副委員長と書記を選ぶ選び方は何通りあるか。
③赤玉４個と白玉６個の１０個の玉を並べる並べ方は何通りあるか。
(解答)
①は「組合せ」で解く。
１０人の生徒から３人を選ぶので
②「選ぶ」「選び方は何通りありますか。」など組合せを思わせる言葉が出てくるが、これは順列で解く。
取り出すだけでなく区別する。
区別するのは並べる事と同じ扱いと考えます。
１０P３＝１０✕９✕８＝７２０
答え 720通り
③下図のように並べた10個の玉のうち、赤にする玉を10か所から4か所選ぶと考えられる。（並べるので順列とも考えられる）
したがって10C4で求められる。
答え 210通り
今回は組合せの色々なパターンの問題を学習しました。
例題3は「同じものを含む順列」の問題と考えると別解があります。
次回はその「同じものを含む順列」についてお伝えします。
