【数学A】場合の数と確率①／集合の要素の個数とベン図・個数定理による求め方
数Ⅰで「集合」について勉強しましたが、今回お伝えする「場合の数」でも「集合」を使うので、まずはその復習から始めます。
「集合」では、独特の記号や表現が使われましたが、ここでは集合の要素の個数の表し方から始めていきます。
まず、最初に次の表し方を覚えましょう。
１、集合の個数の表し方
【例題】(1)
全体集合を
U={１，２，３，４，５，６，７，８，９}とする。
Ｕの部分集合
A={２，３，５，６，７}
B={１，３，６，７}について
(解説 解答)
➀ｎ(Ａ)については、
Ａ＝{２，３，５，６，７，}だから
Ａの要素は、２，３，５，６，７の５個。
答えn ( A )= 5
②ｎ(Ｂ) については
B={１，３，６，７}だから
Bの要素は、１，３，６，７の４個。
答えn ( Ｂ)=４
③や④のような問題を考える時は、上のような図を使って考えるのがいいと思います。
(このような図をベン図といいます。)
２、個数定理
では、次に下の式が成り立つことを上のベン図を見ながら確かめてください。
そして、これは基本の式として覚えておきましょう。
【例題】(2)
全体集合をＵ。ＡとＢはＵの部分集合とする。
ｎ(Ｕ)＝60,ｎ(Ａ)=40,ｎ(Ｂ)=30,ｎ(Ａ Ｂ)=15の時、次の集合の要素の個数を求めよ。
(解説 解答)
この問題では、各集合の要素が具体的に示されていません。
そこで、次のような図を書いて考えることをお勧めします。
【例題】(3) 100以下の自然数について
①３または４の倍数となる自然数はいくつあるか。
②３の倍数ではない自然数はいくつあるか。
③３の倍数でも４の倍数でもない自然数はいくつあるか。
(解説 解答)
分かりやすくするために次の集合を考えます。
Ｕ＝｛１から100までの自然数｝
Ａ＝｛３の倍数(１から100までの自然数の中で)｝
Ｂ＝｛４の倍数(１から100までの自然数の中で)｝
ベン図を書くと下図のようになります。
ｎ(Ａ)は次のように求めます。
Ａ＝｛３×１,３×２,・・・,３×３３｝だから
ｎ(Ａ)＝３３
同じようにして
Ｂ＝｛４×１,４×２,・・・,４×２５｝だから
ｎ(Ｂ)＝２５
次に１から１００までの自然数の中の、３と４の最小公倍数１２の個数を求めます。
Ａ∩Ｂ ＝｛１２×１,１２×２,・・・,１２×８｝
よってｎ(A∩Ｂ)＝８
３、３つの集合の場合の数
【例題】１から１００までの自然数のうち２または３または５の倍数は何個ありますか。
(解説 解答)
２または３または５の倍数というのは、２の倍数でも３の倍数でも５の倍数のどれでもよいという事です。
Uを全体集合。、の部分集合をA , B , C として下のように集合を定義します。(「定義します」とは、このように決めますという意味です。)
U＝｛ｎ｜ｎは１から１００までの自然数｝
A＝｛ｎ｜ｎは２の倍数｝
B＝｛ｎ｜ｎは３の倍数｝
C＝｛ｎ｜ｎは５の倍数｝
Uは全体集合です。
A , B , CはUの部分集合なので、（１から１００までの自然数の中で）という条件がついています。
求めたい集合の数はｎ（A ∪ B ∪C）です。
まず部分集合A , B , Cの個数を求めます。
１００以下の２の倍数は１００÷２＝５０から５０個と簡単に見つけられます。
３の倍数についても１００÷３＝３３余り１より３３個とわかります。（余りは気にしなくて大丈夫です）
５の倍数についても１００÷５＝２０から、
２０個です。
次に部分集合A , B , Cの共通部分A∩B、B∩C、A∩C、A∩B∩Cの個数を求めます。
A∩Bは、２と３の最小公倍数６の倍数です。
全体集合は、１００以下の自然数なので、
１００÷６＝１６余り４より
ｎ(Ａ∩Ｂ)＝１６
Ｂ∩Ｃは、３と５の最小公倍数１５の倍数なので、１００÷１５＝６余り１０より
ｎ(Ｂ∩Ｃ)＝６
Ａ∩Ｃは、２と５の最小公倍数１０の倍数なので１００÷１０＝１０より
ｎ(Ａ∩Ｃ)＝１０
Ａ∩Ｂ∩Ｃは、２と３と５の最小公倍数３０の倍数なので１００÷３０＝３余り１０より
ｎ(Ａ∩Ｂ∩Ｃ)＝３
まとめると
①ｎ(Ａ)＝５０
②ｎ(Ｂ)＝３３
③ｎ(Ｃ)＝２０
④ｎ(Ａ∩Ｂ)＝１６
⑤ｎ(Ｂ∩Ｃ)＝６
⑥ｎ(Ａ∩Ｃ)＝１０
⑦ｎ(Ａ∩Ｂ∩Ｃ)＝３
今、求めたい２または３または５の倍数の個数はn(Ａ∪Ｂ∪Ｃ)ですが、ここで個数定理の拡張定理を使います。
こうなる理由は後で説明します。
この公式に準備した①～⑦の数値を代入して答えを導きだします。
答え７４個
４、個数定理の拡張の理由
個数定理の拡張を説明する前に下のベン図を見てください。
全体集合をU とします。A , B , CはUの部分集合です。
ａ～ｇは各部分の要素の個数を表します。
これはベン図を見たら分かります。
次に個数定理の拡張の右辺をａ～ｇを使って表してみます。
まず準備として
これを個数定理の拡張の右辺に代入します。
（ア）と（イ）の右辺が一致するので個数定理の拡張が成り立ちます。
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