【数学A】場合の数と確率⑧同じものを含む順列と重複組合せによる並べ方
【数学A】場合の数と確率⑦組合せの図形への利用、順列と組合せの使い分け からの続き
前回まで「順列」と「組合せ」について説明してきましたが、今回は「同じものを含む順列」と「重複組合せ」についてです。
同じものを含む順列
【例題１】
赤玉４個と白玉６個の１０個の玉を並べる並べ方は何通りあるか。
(解答)
まずは１０個の玉の順列と考えます。
１０個を並べる場合の数は１０！通りです。
下図のようにこの色の並び方の中で赤玉に番号をつけてみると、赤玉を動かす場合の数は、４！通りです。
赤玉は区別できないのでこれらは重複します。
白玉も同じ様にして重複していると考えると白玉の重複は６！通りなので、求める場合の数は重複している分を割って求めることができます。
答え ２１０通り
一般的に同じ「同じものを含む順列」の総数については次の通りです。
上の公式を使って解く練習をしましょう。
【例題２】
８個の数字１，１，１，２，２，２，３，３の全部を使って８桁の整数を作るとき何個の整数が作れるか。
(解答)
１が３個、２が３個、３が２個、同じものを含む順列だから求める場合の数は
答え ５６０通り
重複組合せ
次に重複組合せについて説明します。
同じものを含む順列の考え方を利用します。
実際に問題を見ながら説明していきましょう。
【例題３】
１，２，３の３個の数から重複を許して６個の数を取り出す。ただし含まれない数があっても良い。このとき取り出し方は何通りあるか。
(解答)
例えば１を２個、２を３個、３を１個取り出すとする。
下図のように、１を２個、２を３個、３を１個並べて、間に仕切りの縦線を1つ入れると考える。
また１が４個、２が０個、３が２個のように、含まれない数がある場合は、下図のように区切りが連続で入ると考えます。
さらに１が２個、２が４個、３が０個の場合は、下図のように仕切りを右端に置くと考えます。
このように、重複を許して６個の〇と２個の仕切りと合わせて８個１列に並べることにと同じとみなせます。
だから求める場合の数は「同じものを含む順列」と考えられ、次のようになります。
答え ２８通り
（別解）
仕切りを置く場所を８か所から２か所選ぶことと同じだから、求める数は
となります。
〇の方を6か所選ぶと考えれば ８C６ですが、８C２＝８C６で計算が楽なので、こちらがいいと思います。
一般的に次のことが成り立ちます。
異なるｎ個の中から重複を許してｒ個取るとき、仕切りの数は（ｎ―１）個となる。
今回は「同じものを含む順列」と「重複組合せ」について扱いましたが、色々なパターンの問題があります。
どのパターンの問題かを見極めて、使い分けできるようにしましょう。
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